Задача к ЕГЭ на тему «Алгебра. Исследование при всех значениях параметра» №7

Автор admin На чтение 1 мин Просмотров 29

Решите уравнение

∘ -------- ∘ -------- √ -------- 3 (a + x )2 + 4 3 (a − x)2 = 5 3 a2 − x2

при всех значениях параметра $a$ .

Рассмотрим два случая:

1) $a = 0$ . Тогда уравнение принимает вид

√3--- √3--- √3---- √3--- x2 + 4 x2 = 5 − x2 ⇒ 10 x2 = 0 ⇒ x = 0

2) $a ⁄= 0$ . Заметим, что $x = a$ не является корнем уравнения, поэтому разделим правую и левую части уравнения на $∘ -------- 3 (a − x )2$ :

∘ ---------- ∘ ---------- ∘ --------- ∘ ---------- ( )2 ( )2 2 2 ( )2 ∘ ------ 3 -a +-x + 4 3 a −-x- − 5 3-a-−--x- = 0 ⇔ 3 a +-x- − 5 3 a-+-x-+ 4 = 0 a − x a − x (a − x)2 a − x a − x

Полученное уравнение с помощью замены $∘ -a +-x 3------ = t a − x$ сводится к квадратному уравнению $2 t − 5t + 4 = 0$ , корнями которого являются $t = 1$ и $t = 4$ . Сделаем обратную замену:

⌊∘ ------ ⌊ 3 a-+-x-= 1 a-+-x- = 1 ⌊ x = 0 || a − x |a − x |∘ ------ ⇒ |⌈a + x ⇒ ⌈ 63 ⌈ 3 a-+-x-= 4 ------ = 64 x = ---a a − x a − x 65