Задача к ЕГЭ на тему «Алгебра. Связь между множествами решений» №6

Автор admin На чтение 1 мин Просмотров 32

Найдите все $a$ , при которых совпадают множества решений уравнений $(a2 + a − 6)x = 2a2 − 3a − 2$ и $(3a2 − a − 10)x = 3a2 − 4a − 4$ .

Заметим, что оба уравнения линейного типа. Их можно переписать в виде:
$(a + 3)(a − 2)x = (a − 2)(2a + 1)$ ;
$(3a + 5)(a − 2)x = (a − 2)(3a + 2)$ .

Рассмотрим по отдельности случаи, когда коэффициент при $x$ равен нулю и когда он не равен нулю:

1) $a = 2$ . Тогда оба уравнения примут вид $0 = 0$ , и решениями каждого будут $x ∈ ℝ$ . Следовательно, множества их решений совпадают.

2) $a = − 3$ . Тогда первое уравнение не имеет решений, так как левая часть равна нулю, а правая – нет; второе уравнение имеет корень. Следовательно, их множества решений не совпадают.

3) $5 a = − 3$ . Аналогично пункту 2.

4) $a ⁄= − 3;− 5;2 3$ .
Тогда корень первого уравнения $x = 2a+1 a+3$ ; корень второго $x = 3a+2- 3a+5$ . Чтобы множества решений уравнений совпали, нужно, чтобы совпали данные корни:

2a + 1 3a + 2 1 -------= ------- ⇒ a = − 1;-- a + 3 3a + 5 3

Оба найденных числа удовлетворяют условию $a ⁄= − 3;− 5;2 3$ .