Задача к ЕГЭ на тему «Алгебра. Задачи, решающиеся аналитически» №11

При каких значениях параметра $a$ система

{ (a− 2)x2+(4− 2a)x+ 3= 0 ax2− 4x+ a− 6 =0

имеет единственное решение? Найдите это решение.

Оба уравнения системы являются уравнениями квадратного типа. Рассмотрим отдельно случаи, когда коэффициент при $x2$ у какого-то из уравнений равен нулю.

1) $a= 2$ . Тогда первое уравнение примет вид $3= 0$ . Это уравнение не имеет решений, следовательно, и вся система не имеет решений. Следовательно, $a = 2$ нам не подходит.

2) $a= 0$ . Тогда второе уравнение имеет единственный корень $x = − 32$ . Проверкой убеждаемся, что этот корень не является корнем первого уравнения. Следовательно, $a= 0$ нам не подходит.

3) $a⁄= 0;2.$ Тогда оба уравнения квадратные. Систему можно преобразовать: вычесть из второго уравнения первое и получить новую систему:

{ 2x2− 2(4 − a)x+ a − 9 = 0 ax2− 4x+ a− 6= 0 { a(2x+ 1)= 9− 2x2+8x a(x2+ 1) = 6+ 4x

Если $1 x = −2,$ то первое уравнение системы запишется в виде $9 a ⋅0= 2,$ что не имеет решений. Тогда можем выразить из обоих уравнений $a$ и приравнять:

9− 2x2+ 8x 6+ 4x 4 3 2 ---2x-+-1-- = x2+-1 ⇒ 2x − 8x + x + 8x− 3= 0 (∗)

Заметим, что $x = 1$ и $x= −1$ являются корнями этого уравнения. Следовательно, разделив в столбик $4 3 2 2x − 8x + x + 8x− 3$ на $2 (x − 1)(x+ 1)= x − 1$ , получим:

(x2− 1)(2x2 − 8x +3)= 0

Следовательно, все корни уравнения (*) — это $√ -- x = ±1;(4 ± 10):2$ .

4) Необходимо сделать проверку.

Если $x = 1$ , то $a = 5$ . Следовательно, система примет вид

{3x2− 6x+ 3= 0 2 5x − 4x− 1= 0

Видим, что эти уравнения действительно имеют единственный общий корень $x = 1$ .

Если $x = −1$ , то $a= 1$ . Тогда

{ 2 −x2 + 2x+ 3 =0 x − 4x− 5= 0

Видим, что эти уравнения действительно имеют единственный общий корень $x = −1$ .

Если $x = 2± ∘ 5- 2$ , то $a = 4∓ 4∘-2 5$ . Если бы уравнения исходной системы имели еще один общий корень, то это значило бы, что все коэффициенты одного уравнения во сколько-то раз больше соответствующих коэффициентов другого уравнения. Но при данных $∘ 2- a= 4∓ 4 5$ это не выполняется, например, для старших коэффициентов и свободных членов:

a-−-2⁄= --3- a a − 6

Следовательно, в случае $∘-- a = 4− 4 2 5$ уравнения также имеют ровно один общий корень $∘ -- x= 2+ 5 2$ ; при $∘ -- a= 4+ 4 2 5$ имеют единственный общий корень $∘ 5- x= 2 − 2$ .