Задача к ЕГЭ на тему «Функции. Четность/нечетность функций» №2

Автор admin На чтение 1 мин Просмотров 25

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых график функции

f(x) = 3tg ax-+ 2 sin 8πa-−-3x- 5 4

симметричен относительно начала координат.

Если график функции симметричен относительно начала координат, то такая функция является нечетной, то есть выполнено $f (− x ) = − f (x )$ для любого $x$ из области определения функции. Таким образом, требуется найти те значения параметра, при которых выполнено $f(− x) = − f(x).$

( ) ( ( ) ) ( ( ) ) 3tg − ax- + 2 sin 8πa-+-3x- = − 3tg ax- + 2sin 8πa-−-3x- ⇒ − 3tg ax-+ 2sin 8πa-+-3x-= − 3tg ax- + 2sin 8-πa-−-3x ⇒ 5 4 5 4 5 4 5 4 ( ) ( ) ⇒ sin 8πa-+--3x + sin 8πa-−--3x = 0 ⇒ 2 sin 1- 8πa-+-3x- + 8πa-−-3x- ⋅ cos 1 8πa-+-3x-− 8πa-−-3x- = 0 ⇒ sin(2πa ) ⋅ cos 3x = 0 4 4 2 4 4 2 4 4 4

Последнее уравнение должно быть выполнено для всех $x$ из области определения $f(x)$ , следовательно, $n sin(2πa ) = 0 ⇒ a = -,n ∈ ℤ 2$ .