Задача к ЕГЭ на тему «Функции. Исследование функции на возрастание/убывание» №2

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

3 2 2 x − 9x + 108 +(a − 108a)tgx = a

имеет ровно два корня.

Рассмотрим три случая: $a= 0$ , $a= 108$ и $a ⁄= 0;108$ .

1) $a= 0$ . Тогда уравнение примет вид $x3− 9x2 = − 108$ . Решим его графически. Рассмотрим функцию $y = x3− 9x2$ . Нули функции: $x= 0;9$ . Производная равна $′ 2 y = 3x − 18x$ , следовательно, точки экстремума $x= 0,x= 6$ , причем $x= 0$ – точка максимума, $x = 6$ – точка минимума. Следовательно, график выглядит так: $PIC$
Причем $y(6)= −108$ . Следовательно, решение уравнения $3 2 x − 9x = −108$ – это абсциссы точек пересечения графиков функций $y = x3− 9x2$ и $y = −108$ . Таким образом, очевидно, что таких точек две.
Следовательно, $a = 0$ нам подходит.

2) $a =108$ . Тогда уравнение примет вид $x3− 9x2 = 0$ . Это уравнение имеет два решения $x = 0$ и $x= 9$ . Следовательно, $a= 108$ нам также подходит.

3) Пусть $a ⁄= 0;108$ . Рассмотрим функцию $f(x)= (x3− 9x2+ 108 − a)+ (a2− 108a)tgx$ . Тогда уравнение примет вид $f(x)= 0$ .
Эта функция состоит из суммы двух функций: $3 2 h(x)= x − 9x + 108 − a$ и $g(x)= (a2 − 108a)tg x$ . Функция $g$ определена при всех $x$ кроме $π x = 2-+πk$ , $k ∈ℤ$ , причем на любом отрезке $[ ] − π-+πk; π-+ πk 2 2$ принимает значения от $− ∞$ до $+ ∞$ (вообще говоря, она еще периодическая).
Функция $h$ кубическая, определена при любом $x$ , причем на каждом отрезке вида $[− π-+ πk; π+ πk] 2 2$ она ограничена (то есть ее область значений на этом отрезке – от $( π ) h − 2 + πk$ до $(π ) h 2 +πk$ ).
Обе функции $g$ и $h$ также непрерывны на любом отрезке $[ π π ] −2-+ πk;2 + πk$ . Следовательно, функция $f$ также непрерывна на любом таком отрезке, а также принимает значения от $− ∞$ до $+ ∞$ . Значит, на любом таком отрезке существует хотя бы одна точка, удовлетворяющая уравнению $f(x)= c$ . В частности, это верно и для $c= 0$ . Следовательно, на любом отрезке вида $[ π π ] −2-+ πk;2-+πk$ существует хотя бы одно решение уравнения $f(x)= 0$ .
Так как таких отрезков бесконечное множество, то и решений у уравнения $f(x)= 0$ бесконечно. Следовательно, любые $a⁄= 0;108$ нам не подходят.

Таким образом, ответ $a ∈{0;108}$ .