Задача к ЕГЭ на тему «Функции. Исследование функции на возрастание/убывание» №3

Автор admin На чтение 1 мин Просмотров 26

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

√ -- √ --------- (sin2 x − 5sin x − 2a(sin x − 3) + 6) ⋅ ( 2a + 8x 2x − 2x2) = 0

имеет корни.

ОДЗ уравнения: $2x − 2x2 ≥ 0 ⇔ x ∈ [0;1]$ . Следовательно, для того, чтобы уравнение имело корни, нужно, чтобы хотя бы одно из уравнений

-- --------- sin2 x − 5sinx − 2a (sin x − 3) + 6 = 0 или √ 2a + 8x√ 2x − 2x2 = 0

имело решения на ОДЗ.

1) Рассмотрим первое уравнение

[ sin2 x − 5sin x − 2a(sin x − 3) + 6 = 0 ⇔ sin x = 2a + 2 ⇔ sin x = 2a + 2 sin x = 3

Данное уравнение должно иметь корни на $[0; 1]$ . Рассмотрим окружность:
$PIC$

Таким образом, мы видим, что для любых $2a + 2 ∈ [sin 0;sin1]$ уравнение будет иметь одно решение, а для всех остальных – не будет иметь решений. Следовательно, при $a ∈ [− 1;− 1 + 0,5 sin 1]$ уравнение имеет решения.

2) Рассмотрим второе уравнение

√ -- √ --------2 √ -----2- 2a + 8x 2x − 2x = 0 ⇔ 8x x − x = − a

Рассмотрим функцию $f(x) = 8x √x-−--x2-$ . Найдем ее производную:

′ x(4x-−-3)- f (x) = − 4 ⋅ √ x − x2

На ОДЗ производная имеет один ноль: $x = 34$ , который к тому же является точкой максимума функции $f (x )$ .
Заметим, что $f(0) = f(1) = 0$ . Значит, схематично график $f (x)$ выглядит так:
$PIC$

Следовательно, для того, чтобы уравнение имело решения, нужно, чтобы график $f (x)$ пересекался с прямой $y = − a$ (на рисунке изображен один из подходящих вариантов). То есть нужно, чтобы

( 3) 3√3-- 0 ≤ − a ≤ f -- ⇒ − -----≤ a ≤ 0 4 2

3) Таким образом, изначальное уравнение будет иметь решения при $a ∈ [− 1;− 1 + 0,5 sin 1]$ или $[ √ -- ] 3 3 a ∈ − ----;0 2$ . Объединяя эти решения, получим

[ √ -- ] 3 3 a ∈ − -----;0 . 2