Задача к ЕГЭ на тему «Функции. Исследование функции на возрастание/убывание» №4

Автор admin На чтение 1 мин Просмотров 24

При каких значениях параметра $a$ уравнение

3- 2x- x- cos x + 2 cos 3 + 3cos 3 = a

имеет решения.

1) Рассмотрим функцию $f (x) = cosx + 32 cos 2x3 + 3 cos x3$ .
Главный период у $cosx$ – это $2π$ , у $2x cos 3$ — это $2π- 2 = 3 π 3$ , у $x cos 3$ – это $2π- 1 = 6π 3$ . Тогда главный период всей функции $f (x)$ – это НОК этих периодов, то есть $6π$ .

2) Для того, чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы на любом отрезке длиной $6π$ выполнялось: $minf (x) ≤ a ≤ maxf (x)$ . Возьмем, например, отрезок $[0;6π ]$ .

3) Найдем критические точки функции и построим ее схематичный график для того, чтобы понять, чему равно $minf (x )$ и $maxf (x)$ .

$( ) f′(x ) = sin x + sin 2x-+ sin x-= 0 ⇒ sin x + sin x- + sin 2x- = 0 ⇒ 3 3 3 3$

$2x x 2x 2x ( x ) ⇒ 2 sin ---cos --+ sin--- = 0 ⇒ sin --- 2cos --+ 1 = 0 ⇒ 3 3 3 3 3$

$⌊ 2x- ⌊ 3 | 3 = πn,n ∈ ℤ x = -πn, n ∈ ℤ ⇒ ⌈ ⇒ ⌈ 2 x-= ± 2π-+ 2πk, k ∈ ℤ x = ±2 π + 6 πk,k ∈ ℤ 3 3$

Промежутку $[0;6π ]$ принадлежат точки $3π 9π 0; 2-; 2π; 3π; 4π; -2 ; 6π$ . Значит, знаки производной такие:

$PIC$

Значит, минимальное значение на $[0;6π ]$ функция принимает в одной из точек $3π2 ; 3π; 9π2$ , а максимальное — в одной из $0; 2 π; 4π; 6π$ .

$11 f(0) = f(6π ) = --- ( ) ( 2) 3π- 9π- 3- f 2 = f 2 = − 2 5- f(2π) = f (4 π) = − 4 f(3π) = − 5- 2$

Тогда на $[0;6π ]$ схематично функция выглядит так:

$PIC$

То есть $5 11 minf (x) = − --, maxf (x) = --- 2 2$ . Значит, $[ 5 11] a ∈ − -; --- 2 2$ .