Задача к ЕГЭ на тему «Иррациональные уравнения (со знаком корня)» №20

Автор admin На чтение 1 мин Просмотров 31

Найдите корень уравнения. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

√------ √ - 2x + 6 = 2 2x

ОДЗ: $2x + 6 ≥ 0,$ что равносильно $x ≥ − 3.$ Решим на ОДЗ:

При возведении в квадрат левой и правой части уравнения в общем случае могут приобретаться лишние корни, но не могут теряться корни исходного уравнения.

Возведём в квадрат левую и правую часть, найдём корни получившегося уравнения и проверим подстановкой, все ли они являются корнями исходного уравнения:

2 2 2x + 6 = 8x ⇔ 8x − 2x− 6 = 0

Дискриминант

D = 4+ 192 = 196 = 142

Корни

2 +14 2 − 14 x1 = ------= 1, x2 =------= − 0,75 16 16

Подставим в исходное уравнение $x1 = 1 :$

------- √ - √2 ⋅1+ 6 = 2 2⋅1

– верное равенство. Подставим в исходное уравнение $x2 = − 0,75 :$

∘ ------------- √ - 2⋅(− 0,75)+ 6 = 2 2⋅(− 0,75)

Левая часть данного равенства не может быть отрицательным числом, а справа отрицательное число, значит $x2 = − 0,75$ – не корень исходного уравнения. Ответ: $x = 1.$