Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №114

Автор admin На чтение 1 мин Просмотров 32

Высоты $BB1$ и $CC1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H.$

а) Докажите, что $∠AHB1 = ∠ACB.$

б) Найдите $BC,$ если $AH = 21$ и $∠BAC = 30∘.$

а) Из прямоугольного $△AHB1$ имеем:

∘ ∠HAB1 = 90 − ∠AHB1

Из прямоугольного $△AA1C$ имеем:

∘ ∘ ∠ACA1 =∘90 −∘∠CAA1 = 90 − ∠HAB1 = = 90 − (90 − ∠AHB1 ) =∠AHB1

Так как $∠ACA 1$ и $∠ACB$ — один и тот же угол, то отсюда следует утверждение пункта а).

$PIC$

б) Аналогично пункту а) можно доказать, что $∠BAC = ∠B1HC = 30∘.$

Тогда из прямоугольного $△B1HC$ имеем:

∘ HB1- ctg 30 = B1C

Заметим, что $△AHB1 ∼ △BCB1$ по двум углам. Следовательно,

AH- = HB1- =ctg30∘ ⇒ BC = --AH--= √21= 7√3- BC B1C ctg30∘ 3

из прошлых лет

admin

Оцените автора

Добавить комментарий