Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №133

Автор admin На чтение 1 мин Просмотров 36

Дана четырехугольная пирамида $PABCD,$ в основании которой лежит трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD.$ Известно, что сумма углов $BAD$ и $CDA$ равна $90∘.$ Грани $PAB$ и $P CD$ перпендикулярны плоскости основания. $K$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD.$

а) Докажите, что грани $PAB$ и $P CD$ перпендикулярны.

б) Найдите объем пирамиды $PBCK,$ если известно, что $AB =BC = CD = 2,$ а высота пирамиды $P ABCD$ равна 12.

а) Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную второй плоскости. Так как $P AB ⊥ ABC$ , то в плоскости $PAB$ можно провести прямую $PH ⊥ ABC$ (тогда $H ∈AB$ ). Аналогично в плоскости $P CD$ можно провести $PL ⊥ ABC$ ( $L ∈ CD$ ). Следовательно, из одной точки к плоскости проведены две прямые, перпендикулярные ей, что возможно только в том случае, если эти прямые совпадают, то есть $H = L$ . Следовательно, $PH$ – общая прямая для двух плоскостей $P AB$ и $PCD$ . Следовательно, $P H$ совпадает с $PK$ .

$PIC$

Таким образом, $P K ⊥ (ABC )$ . Следовательно, $PK$ – высота пирамиды $PABCD$ .
Так как $∘ ∠BAD + ∠CDA = 90$ , то $∘ ∠AKD = 90$ . Следовательно, $AK ⊥ P K$ и $AK ⊥ KD$ , то есть $AK$ перпендикулярна двух пересекающимся прямым из плоскости $PCD$ , значит, $AK ⊥ (PCD )$ . Тогда плоскость $PAB$ проходит через прямую, перпендикулярную плоскости $PCD$ , следовательно, $(PAB )⊥ (PCD )$ , чтд.