Учитель задумал несколько необязательно различных натуральных чисел. Эти числа и результаты всех их возможных произведений по два числа, по три числа и так далее он выписал на доску. Если какое-то число, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляют только одно такое число, а другие равные ему числа стирают.
Например, если задуманы числа 1, 5, 6, 5, то на доске будет набор 1, 5, 6, 30, 25, 150.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 105, 315, 945?
в) Приведите все примеры шести задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор, наибольшее число в котором равно 82.
а) Очевидно, что в задуманном наборе должны быть числа 2, 3, 5. Для того, чтобы на доске появилось число 9, в наборе либо должна быть 9, либо еще одна 3.
Рассмотрим набор
Так как на доске должны быть записаны все попарные произведения, то на доске должно быть число 
Его там нет. Следовательно, этот набор невозможен.
Рассмотрим набор
Проверкой убеждаемся, что он подходит.
б) Очевидно, что в задуманном наборе должны быть числа 3, 5, 7. Для того, чтобы на доске была написана 9, нужно, чтобы в наборе была либо 9, либо еще одна 3.
Рассмотрим последнее написанное на доске число:
Заметим, что последнее записанное на доске число — это всегда произведение всех задуманных чисел.
Следовательно, либо этот набор точно содержит числа 3, 5, 7, 9, либо содержит 3, 3, 3, 5, 7.
Пусть в задуманном наборе как минимум есть числа 3, 3, 3, 5, 7. Тогда на доске должно быть записано число 
которого там нет. Следовательно, набор с такими числами точно не может быть задуман.
Пусть в задуманном наборе как минимум есть числа 3, 5, 7, 9. Проверим, подходит ли он. Тогда на доске, например, должно быть число 
А его там нет. Следовательно, набор не подходит.
в) Как уже говорилось в пункте б), наибольшее число на доске — это произведение всех задуманных чисел. Следовательно, 
— произведение всех чисел.
Таким образом, у нас возможны два следующих набора:
Если бы в наборе было какое-то число, отличное от 1, 2, 41 и 82, то оно было бы делителем 82. Но мы уже выяснили, что у 82 делители только 1, 2, 41, 82.
