Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №171

Автор admin На чтение 1 мин Просмотров 37

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система

{ (x − 2a − 2)2+ (y− a)2 = 1 y2 = x2

имеет ровно четыре решения.

Второе уравнение системы можно переписать в виде $y = ±x.$ Следовательно, рассмотрим два случая: когда $y = x$ и когда $y = −x.$ Тогда количество решений системы будет равно сумме количества решений в первом и во втором случаях, если эти пары $(x,y)$ различны.

1) $y = x.$ Подставим в первое уравнение и получим

2 2 2 2x − 2(3a+ 2)x+ (2a +2) + a − 1= 0 (1)

Заметим, что в случае $y = −x$ мы поступим так же и тоже получим квадратное уравнение.

Для того, чтобы исходная система имела 4 различных решения, нужно в каждом из двух случаев получить по 2 решения.

Квадратное уравнение имеет два корня, когда его дискриминант D > 0. » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-2403-8.svg» width=»auto»> Найдем дискриминант уравнения (1): </p>
<div class= $D = −4(a2 +4a +2)$

Тогда имеем:

a2 +4a+ 2 <0 ⇒ a∈ (− 2− √2;−2 +√2 )

2) $y = − x.$ Получаем квадратное уравнение

2 2 2 2x − 2(a+ 2)x +(2a+ 2) + a − 1 = 0 (2)

Тогда имеем:

Необходимо проверить, не совпадают ли решения в первом случае с решениями во втором случае. Пусть — общее решение уравнений (1) и (2), тогда Отсюда получаем, что либо либо Если то уравнения (1) и (2) получаются одинаковыми: Так как здесь дискриминант то корней нет и этот случай нам не подходит. Если — их общий корень, то Отсюда получаем Значит, исходная система будет иметь 3 различных решения, что нам не подходит. Тогда исходная система имеет ровно четыре решения при следующих значениях параметра:

из прошлых лет

admin

Оцените автора

Добавить комментарий