Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №196

Автор admin На чтение 1 мин Просмотров 45

Угол $C$ треугольника $ABC$ равен $30∘,$ $D$ — отличная от $A$ точка пересечения окружностей, построенных на сторонах $AB$ и $AC$ как на диаметрах. Известно, что $BD :DC = 1:6.$ Найдите синус угла $A.$

Докажем, что точка $D$ на самом деле является основанием высоты из вершины $A$ треугольника.

Допустим противное. Пусть $H$ — основание высоты из $A$ , причем $H$ не совпадает с $D$ . Однако $H$ лежит на окружности, построенной как на диаметре на отрезке $AB$ , т.к. $∘ ∠AHB = 90$ . Аналогично, $H$ лежит на окружности, построенной как на диаметре на отрезке $A$ , т.к. $∘ ∠AH =90$ . То есть $H$ точка пересечения данных двух окружностей, отличная от $A$ и $D$ (которые по условию тоже не могут совпадать). Получили противоречие, т.к. у окружностей может быть максимум две точки пересечения. Таким образом, $D$ — основание высоты из $A$ .

Тогда возможны два случая: $D$ лежит на стороне $BC$ , либо на ее продолжении за точку $B$ (на продолжении за точку $C$ лежать не может, т.к. по условию $∠C$ острый).