Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №198

Автор admin На чтение 2 мин Просмотров 45

Окружность радиуса 6 вписана в угол, равный $60∘.$ Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках $M$ и $N.$ Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 4. Найдите $MN.$

Пусть центр первой окружности $O 1$ , центр второй — $O 2$ , вершина угла — точка $A$ . $K$ и $L$ — точки касания первой и второй окружностей соответственно с «нижней» стороной угла. Очевидно, что центры окружностей, вписанных в угол, лежат на его биссектрисе. $O1K$ и $O2L$ перпендикулярны $AK$ как радиусы в точках касания. $∘ ∠KAO1 =30$ .

Возможны два случая: $O2$ ближе к $A$ , либо $O1$ ближе к $A$ .

I случай

$PIC$

В треугольнике $AO1K$ катет $O1K$ , лежащий напротив угла в $30$ $∘$ равен половине гипотенузы $AO1 ⇒ AO1 =2O1K = 12⇒ AO2 =AO1 − O2O1 = 8$ . В треугольнике $AO2L$ катет напротив угла в $30$ $∘$ : $O2L= 12AO2 = 4$ . Получили, что радиус второй окружности равен 4, а значит, она проходит через точку $O1$ и картинка имеет следующий вид:

$PIC$

Пусть $H$ — точка пересечения $MN$ и прямой $O1O2$ . Заметим, что картинка симметрична относительно биссектрисы $⇒ MN ⊥ O1O2$ и $MH = HN$ . $MH$ — высота в треугольнике $MO1O2$ , все стороны которого мы знаем. Пусть $p$ — его полупериметр. Запишем площадь треугольника $MO1O2$ двумя способами:

$pict$

II случай

$PIC$

Аналогично соображениям из первого случая: $AO1 = 2O1K =12$ , $AO2 =AO1 + O1O2 = 16$ , $1 O2L= 2AO2 =8$ .

$pict$