Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №4

Автор admin На чтение 1 мин Просмотров 30

Найти все значения параметра $a$ , при которых уравнение

x-−-2a + x−-1-= 1 x+ 2 x− a

имеет единственный корень.

Преобразуем данное уравнение к виду:

2 2 x-−-(2a+-1)x-+(2a-+-2a−-2)= 0 (x+ 2)(x− a)

Данное уравнение будет иметь единственный корень, если:

1) квадратное уравнение в числителе имеет один корень $x0,$ причем $x0 ⁄= −2,$ $x0 ⁄= a.$

Рассмотрим

y(x)= x2− (2a + 1)x+ (2a2+ 2a− 2)= 0 2 D = − 4a − 4a+ 9 √- D = 0 ⇒ a= −-1±--10 2

Тогда $2a+-1 x0 = 2 .$

С помощью проверки убеждаемся, что при найденных значениях $a:$ $x0 ⁄=− 2,$ $x0 ⁄= a$ .

2) квадратное уравнение в числителе имеет два корня $x1$ и $x2,$ причем только один из них равен $− 2$ или $a.$

Значит,

Таким образом,