Задача к ЕГЭ на тему «Кубические уравнения» №21

Решите уравнение  (21x− 8− 4x3− 4x2)3 = 1.

Если оно имеет несколько корней, в ответ укажите наибольший по модулю.

Данное уравнение равносильно уравнению

          3    2           3    2 21x− 8− 4x − 4x = 1  ⇔   4x + 4x − 21x + 9= 0

 

Попробуем подобрать рациональный корень p q  : тогда p  – делитель 9, а q  — делитель 4. Следовательно, возможные варианты корней:

     1   1       3   3       9   9 ±1; ±2; ±4; ±3; ± 2; ± 4; ±9; ± 2; ± 4

 

Проверим сначала целые корни. Таким образом, убеждаемся, что x = −3  является корнем:

4⋅(− 3)3+ 4⋅(−3)2− 21⋅(−3)+ 9= 0  ⇔   0 =0

 

Теперь разделим   3    2 4x + 4x − 21x+ 9  на x+ 3  в столбик:

                   | 4x33+  4x22− 21x +9   |----x2+-3---- 4x-+-12x2          |  4x − 8x+ 3      −8x2− 21x     |      −8x-−-24x     |            33xx ++99   |            ----0   |

 

Таким образом, уравнение примет вид:

                                  (    ) (     ) (x + 3)(4x2− 8x + 3)= 0  ⇔   (x + 3)⋅4  x− 1   x − 3 = 0  ⇔   x1 = −3; x2 = 1; x3 = 3 .                                       2       2                       2     2

 

Наибольший по модулю корень – это x= −3.

admin
Оцените автора
Я решу все!
Добавить комментарий