Задача к ЕГЭ на тему «Логарифмические неравенства с переменным основанием» №11

Автор На чтение 1 мин Просмотров 38

Решите неравенство

2 logx3+ 5log|x|3 +6 > 0 » class=»math-display» src=»/images/math/quest/quest-1635-1.svg» width=»auto»></div> </div> <p><button class=Показать ответ

Найдем ОДЗ неравенства:

{ x > 0 x ⁄= 1 » class=»math-display» src=»/images/math/answer/answer-1635-1.svg» width=»auto»></div> <p class= На ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству

log2x3+ 5logx3+ 6> 0 » class=»math-display» src=»/images/math/answer/answer-1635-2.svg» width=»auto»></div> <p class= Сделаем замену logx3 =t :

t2+ 5t+ 6> 0 ⇔ (t+ 2)(t+ 3) >0 » class=»math-display» src=»/images/math/answer/answer-1635-4.svg» width=»auto»></div> <p class= По методу интервалов находим t∈ (−∞;− 3)∪(−2;+∞ ). Отсюда получаем

[logx3< −3 ⌊logx 3< logxx−3 (1) ⇔ ⌈ −2 logx3> −2 logx 3> logxx (2) » class=»math-display» src=»/images/math/answer/answer-1635-6.svg» width=»auto»></div> <p class= Решим неравенство (1) с учетом того, что 1 0< √33-< 1 :

⌊( ⌊(| x> 1 { x> 1 |{ ( 3√- )( 2 3√ 3√- ) ||( 3< x−3 |||( -x-3−-1--x--9-+x--3+-1--<0 ||| ⇔ ||| x3 ||({ 0< x< 1 ||(|{ 0< x< 1 ⌈ −3 |⌈ ( 3√- )( 2 3√ 3√- ) ( 3> x |( -x-3−-1—x-39-+x—3+-1—>0 ⌊( x |{ x> 1 || 1 |||( 0< x< -3√3 |||( (-1- ) ||||| 0< x< 1 ⇔ x∈ √33-;1 ||{ ⌊x< 0 |⌈||| ⌈ 1 ( x> √33- » class=»math-display» src=»/images/math/answer/answer-1635-8.svg» width=»auto»></div> <p class= Здесь неравенства второй совокупности решаются методом интервалов.

Решим неравенство (2) с учетом того, что 0< √1-< 1: 3

⌊( ⌊(| { x> 1 |{ x(>√1 )( √ — ) ||( 3> x−2 |||( -x-3-− 1-x—3+-1-> 0 ||| ⇔ ||| x2 ||({ 0< x < 1 ||(|{ 0< x < 1 ⌈ |⌈ ( √- )( √ - ) ( 3< x−2 |( -x-3-− 1-x--3+-1-< 0 ⌊( x2 || x> 1 |||||{ ⌊ 1 || |x <− √3- ||||||| |⌈ 1 |||( x > √3- ( ) ||( ⇔ x ∈ 0; 1√- ∪ (1;+∞ ) ||||| 0< x < 1 3 ||||{ ⌊ 1-- |||| || − √3 <x < 0 ⌈||||( ⌈ -1- 0< x < √3

Здесь неравенства второй совокупности решаются методом интервалов.

Объединив решения неравенств (1) и (2), окончательно получим

( 1 ) ( 1 ) x ∈ 0;√3- ∪ 3√3-;1 ∪(1;+∞ )
Логарифмические неравенства с переменным основанием
admin
Оцените автора
Я решу все!
Добавить комментарий

© 2025 Я решу все!