Задача к ЕГЭ на тему «Логарифмические: сведение к простейшему уравнению» №1

Автор На чтение 1 мин Просмотров 32

а) Решите уравнение

√-------- log5(5x4 + 30) = 1 + log√5 5x2 + 2

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [ ] 5-38- − 3;13 .

а) ОДЗ данного уравнения:

{ { 5x4 + 30 > 0 5×4 + 30 > 0 √ —2—— ⇔ 2 5x + 2 > 0 5x + 2 > 0 » class=»math-display» width=»auto»></center> Заметим, что так как любое выражение в четной степени всегда неотрицательно, то <img decoding= и x4 ≥ 0 , следовательно, 2 5x + 2 ≥ 2 > 0 » class=»math» width=»auto»> и <img decoding=. Таким образом, неравенства в системе выполнены при всех x , то есть ОДЗ: x ∈ ℝ .
Решим уравнение на ОДЗ.
Так как 1 = log 5 5 , на ОДЗ log b = log 2 b2 a a , то уравнение можно переписать в виде:
log (5x4 + 30) = log 5 + log (5x2 + 2) ⇒ log (5x4 + 30 ) = log (5(5x2 + 2)) 5 5 5 5 5
Данное уравнение имеет вид log5f = log5 g , которое на ОДЗ равносильно f = g :
5x4 + 30 = 25x2 + 10 ⇔ x4 − 5x2 + 4 = 0 ⇔ x2 = 4 или x2 = 1
Следовательно,
⌊ x = 1 ||x = − 1 | ⌈x = 2 x = − 2
Все корни подходят под ОДЗ.

 

б) Отберем корни.   Так как − 5-= − 1 2 3 3 , 38-= 2 12- 13 13 , то в отрезок [− 12;2 12] 3 13 входят только x = − 1; 1; 2 .

Логарифмические: сведение к простейшему уравнению
admin
Оцените автора
Я решу все!
Добавить комментарий

© 2025 Я решу все!