Задача к ЕГЭ на тему «Метод рационализации» №14

Автор На чтение 1 мин Просмотров 38

Решите неравенство

(x2-+-x-)lg(2x2 +-4x −-4)- lg(−-2x2 −-4x-+-4)2 |x + 2| ≥ x + 2 .

ОДЗ:

( | 2x2 + 4x − 4 > 0 { √— √— | x + 2 ⁄= 0 ⇔ x ∈ (− ∞; − 1 − 3 ) ∪ (− 1 + 3; +∞ ). ( (− 2×2 − 4x + 4)2 > 0 » class=»math-display» width=»auto»></center> </p> <p class= Так как (− a )2 = a2 , то (− 2x2 − 4x + 4)2 = (2x2 + 4x − 4)2 .
Обозначим

2 A = 2x + 4x − 4,
тогда
2 2 (x--+-x-)lgA-- lg-A-- |x + 2| ≥ x + 2
Рассмотрим 2 случая:
1) x + 2 > 0 ⇒ |x + 2 | = x + 2 » class=»math» width=»auto»>.<br class=
2 2 (x-+--x)lgA--−-2lgA--≥ 0 ⇔ (x--+-x-−-2)-lg-A-≥ 0. x + 2 x + 2
По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

2 2 2 (x--+-x-−-2)(10-−-1)(A-−-1)-≥ 0 ⇔ (x-+--x −-2)(2x-+--4x −-5) ≥ 0 x + 2 ( ) ( x +)2 √ --- √ --- (x − 1)(x + 2) x + 1 + --14- x + 1 − --14- 2 2 ⇔ ----------------------------------------------- ≥ 0 x + 2

По методу интервалов:
 
PIC
 
откуда [ √ --- ) ( √---] 14 14 x ∈ − 1 − -----;− 2 ∪ − 2;− 1 + ----- ∪ [1; +∞ ) 2 2 .
Пересечем с условием x + 2 > 0 » class=»math» width=»auto»>: <img decoding=
 
2) x + 2 < 0 ⇒ |x + 2 | = − x − 2 .

−-(x2-+-x)lg-A-−-2-lg-A- (x2-+-x-+-2)-lg-A- x + 2 ≥ 0 ⇔ x + 2 ≤ 0
По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

(x2-+-x-+-2)(10-−-1)(A-−--1)- (x2-+-x-+-2)(2x2-+-4x-−-5) x + 2 ≤ 0 ⇔ x + 2 ≤ 0 ⇔ ( √ ---) ( √ --) (x2 + x + 2) x + 1 + --14- x + 1 − --14- 2 2 ⇔ --------------------------------------------- ≤ 0 x + 2

По методу интервалов:
 
PIC
 
откуда ( ] ( ] √14-- √14-- x ∈ − ∞; − 1 − ----- ∪ − 2;− 1 + ----- 2 2 .
Пересечем с условием x + 2 < 0 : ( √---] x ∈ − ∞; − 1 − -14-- 2 .
Объединенное решение двух случаев: ( √ ---] ( √ ---] x ∈ − ∞; − 1 − --14- ∪ − 2;− 1 + --14- ∪ [1;+ ∞ ) 2 2 .
Пересечем ответ с ОДЗ: ( √ --] ( √ ---] x ∈ − ∞; − 1 − --14- ∪ − 1 + √3;-− 1 +--14- ∪ [1;+ ∞ ) 2 2 .
Окончательный ответ

( √ ---] ( √ -- √ --] x ∈ − ∞; − 1 − --14- ∪ − 1 + 3;− 1 + --14- ∪ [1;+ ∞ ). 2 2

Метод рационализации
admin
Оцените автора
Я решу все!
Добавить комментарий

© 2025 Я решу все!