Задача к ЕГЭ на тему «Нетипичные задачи» №12

Автор admin На чтение 1 мин Просмотров 33

Найдите наибольшее значение функции

$y = 3x5 − 5x3 − 180x + 7$ на $[− 3;3]$ .

1) $y′ = 15x4 − 15x2 − 180 = 15 (x4 − x2 − 12)$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

4 2 4 2 15 (x − x − 12) = 0 ⇔ x − x − 12 = 0

– биквадратное уравнение, которое решается при помощи замены $x2 = t$ , $t ≥ 0$ . Корни уравнения после замены: $t = − 3, t = 4 1 2$ , откуда находим $x = 2, x = − 2 1 2$ . Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ на отрезке $[− 3;3]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика $y$ на отрезке $[− 3;3]$ :

$PIC$

Значит $x = − 2$ – точка локального максимума и наибольшее значение функция достигает в ней или в $x = 3$ . Сравним эти значения:

$y(− 2 ) = − 96 + 40 + 360 + 7 = 311$ ,

$y(3) = 729 − 135 − 540 + 7 = 61 < 311$ .

Итого: $311$ – наибольшее значение функции $y$ на $[− 3;3]$ .