Задача к ЕГЭ на тему «Нетипичные задачи» №13

Автор admin На чтение 1 мин Просмотров 32

Найдите наименьшее значение функции $y = 3x3e3x + 2x2e2x + xex$ на отрезке $[0;2]$ .

Первый способ

$y′ = 9x2e3x + 9x3e3x + 4xe2x + 4x2e2x + ex + xex$

Так как при любом $x ∈ [0;2]$ верно: $ex > 0 » class=»math» width=»auto»>, <img decoding=$ , $x2 ≥ 0$ , $x3 ≥ 0$ , то на $[0;2]$ $′ y > 0 » class=»math» width=»auto»>, следовательно на отрезке <img decoding=$ функция $y$ возрастает, тогда наименьшее значение она достигает при $x = 0$ :

y(0) = 0.

Второй способ

При любом $a > 0 » class=»math» width=»auto»> функция <img decoding=$ возрастает на $[0;2]$ ; 2) при любом $b > 0 » class=»math» width=»auto»> функция <img decoding=$ возрастает на $[0;2]$ ; 3) произведение возрастающих функций снова возрастающая функция; 4) сумма возрастающих функций снова возрастающая функция.

Из этих четырёх фактов следует, что данная в условии функция возрастает на $[0;2 ]$ , следовательно, наименьшее на $[0;2]$ значение она принимает в левом конце этого отрезка, то есть её наименьшее значение равно $y(0) = 0$ .

Третий способ

Заметим, что функция является сложной относительно $t(x ) = x ⋅ ex$ : $y (t(x)) = 3t3 + 2t2 + t$ . Следовательно, ее производную можно искать как производную сложной функции:

y′ = (3t3 + 2t2 + t)′ x ⋅ t′ = (9t2 + 4t + 1) x ⋅ (x ⋅ ex + ex) = (9t2 + 4t + 1) x ⋅ ex(x + 1 ) t=x⋅e x t=x⋅e t=x ⋅e

Заметим, что производная равна нулю тогда и только тогда, когда либо $x + 1 = 0$ , либо $2 (9t + 4t + 1 )t=x⋅ex = 0$ (т.к. $x e > 0 » class=»math» width=»auto»> при всех <img decoding=$ ). Второе уравнение не имеет решений, т.к. дискриминант $D < 0$ . Следовательно, имеем