Задача к ЕГЭ на тему «Окружность. Хорды и касательные» №7

Автор admin На чтение 2 мин Просмотров 30

Хорда $AB$ разбивает окружность $S$ на две дуги. Окружность $S1$ касается хорды $AB$ в точке $M$ и одной из дуг в точке $N$ .
Докажите, что прямая $M N$ проходит через середину $P$ второй дуги.

Предположим, что прямая $M N$ пересекает вторую дугу в точке $P$ и $P$ – не середина этой дуги. Отметим точку $P ′$ – середину дуги $A⌣B$ .

Рассмотрим $△M O1N$ и $′ △P ON$ . Они равнобедренные, т.к. $O1M = O1N$ – радиусы окружности $S1$ , $OP ′ = ON$ – радиусы окружности $S$ .

$PIC$

Рассмотрим окружность $S1$ . Т.к. угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними, то угол между касательной $AB$ и хордой $M N$ равен половине дуги $⌣ M N$ (которая меньше полуокружности по рисунку). Обозначим $∠AM N = α$ . Следовательно, $∠M O N = 2α 1$ , т.к. он центральный, опирающийся на дугу $⌣ M M$ , равную $2α$ .

Рассмотрим окружность $S$ . Т.к. $P′$ – середина дуги $AB$ , то $∠AOP ′ = ∠BOP ′$ . Следовательно, в равнобедренном треугольнике $AOB$ $OP ′$ – биссектриса. Следовательно, она и высота, то есть $OP ′ ⊥ AB$ . Но $O M ⊥ AB 1$ (как радиус, проведенный в точку касания в окружности $S1$ ), следовательно, обе прямые $O1M$ и $′ OP$ перпендикулярны $AB$ , следовательно, они параллельны.
Заметим, что т.к. окружности $S$ и $S1$ касаются, то их центры $O$ и $O1$ и точка касания $N$ лежат на одной прямой.

Таким образом, $′ ∠N O1M = ∠N OP = 2α$ как соответственные углы при $′ O1M ∥ OP$ и $N O$ – секущей.

Значит, $∠M N O1 = 1(180 ∘ − 2 α) = ∠P ′N O 2$ . А т.к. точки $N, O1,O$ лежат на одной прямой, то и точки $N, M, P ′$ лежат на одной прямой. Следовательно, $P ′$ совпадает с $P$ .