Задача к ЕГЭ на тему «Пирамида» №9

Автор admin На чтение 1 мин Просмотров 33

В основании пирамиды $SABCD$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ , $AD$ – большее основание. Высота пирамиды падает на отрезок $BC$ . Апофема грани $ASD$ равна $10$ и образует угол $45∘$ с плоскостью трапеции. Найдите объем пирамиды, если средняя линия трапеции равна $9$ .

$PIC$

Пусть $SH$ – высота пирамиды. Проведем $HK ⊥ AD$ . Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах $SK$ (наклонная) также перпендикулярна $AD$ (так как $HK$ – ее проекция на плоскость $ABC$ ). Следовательно, $SK$ и есть апофема грани $ASD$ . Также отсюда следует, что $∠SKH = 45∘$ (так как угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость). Следовательно, $△SHK$ прямоугольный и равнобедренный, значит,

√ -- 10 SH = HK = SK ÷ 2 = √--- 2

По определению получается, что $HK$ также высота трапеции. Так как площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту, а полусумма оснований в свою очередь равна средней линии, то

10 SABCD = 9 ⋅ √-- 2

А значит объем пирамиды равен

V = 1-⋅ 1√0-⋅ 9 ⋅ 1√0-= 150. 3 2 2