Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения у элементарных функций» №12

Автор admin На чтение 1 мин Просмотров 34

Найдите наименьшее значение функции $f (x) = 2x4 − 2x3 − x2 + 2$ на отрезке $[− 1;1]$ .

Найдем производную:

y ′ = 8x3 − 6x2 − 2x

Найдем критические точки:

1 y′ = 0 ⇔ 8x3 − 6x2 − 2x = 0 ⇔ x1 = 0, x2 = − --и x3 = 1 4

Определим, какие из данных точек являются точками максимума/минимума, для этого найдем знаки производной на промежутках, образованных этими точками:

$PIC$

Таким образом, $x = 0$ – точка максимума, $x = − 14$ и $x = 1$ – точки минимума.

Следовательно, на отрезке $[− 1;1]$ функция схематично выглядит так:

$PIC$

Следовательно, наименьшее значение она принимает либо в точке $x = − 14$ , либо в точке $x = 1$ . Сравним:

( ) 1 125 f − -- = 1 ---- 4 128 f(1) = 1

Таким образом, наименьшее значение функции на данном отрезке равно $1$ .