Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения у сложных функций» №5

Автор admin На чтение 1 мин Просмотров 28

Найдите наибольшее значение функции $y =− e(x2−12x+36+2ln2).$

1) Обозначим $x2 − 12x + 36 + 2 ln 2 = t(x)$ , тогда $y(t) = − et$ .

y′ = y′⋅ t′ = (− et)′ ⋅ (x2 − 12x + 36 + 2ln2 )′ = − et ⋅ (2x − 12) = − ex2−12x+36+2 ln2 ⋅ (2x − 12). t x

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

− ex2−12x+36+2ln 2 ⋅ (2x − 12) = 0 ⇔ 2x − 12 = 0

(так как $ex2− 12x+36+2ln2 = et$ , но $et > 0 » class=»math» width=»auto»> при любом <img decoding=$ ), откуда находим корень $x = 6$ . Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Эскиз графика:

$PIC$

Таким образом, $x = 6$ – точка максимума функции $y$ и наибольшее значение достигается в ней:

$y(6) = − e(2ln2) = − eln4 = − 4$ .

Итого: $− 4$ – наибольшее значение функции $y$ .