Задача к ЕГЭ на тему «Поиск наибольшего/наименьшего значения у сложных функций» №6

Автор admin На чтение 1 мин Просмотров 27

Найдите наименьшее значение функции $y = log (x2 +8x +19). 3$

Выпишем ОДЗ: x2+ 8x + 19 > 0. » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-1880-1.svg» width=»auto»> </p>
<p class= 1) Обозначим $x2+ 8x + 19 = t(x),$ тогда $y(t)= log3 t.$

Найдем производную функции $y$ по $x:$

y′ =y′t⋅t′x = (log3t)′⋅(x2+ 8x+ 19)′ = 1 1 1 2x+ 8 = ln3 ⋅ t ⋅(2x+ 8)= ln-3 ⋅x2+-8x+-19

Найдём критические точки, то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует:

1--⋅--2x-+8---= 0 ⇔ 2x+ 8= 0 ln3 x2+ 8x+ 19

Отсюда $x= −4.$ При этом производная существует всюду на ОДЗ.

Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ и промежутки монотонности $y :$

$PIC$

3) Эскиз графика $y :$

$PIC$

Таким образом, наименьшее значение функции $y$ достигается в точке минимума $x =− 4:$

y(−4)= log33 =1