Задача к ЕГЭ на тему «Показательные неравенства» №28

Автор На чтение 1 мин Просмотров 34

Решите неравенство

(32x+2x⋅3x+30) (4x− 2x⋅3x+1+log32) 2 > 3 » class=»math-display» width=»auto»></center> </div> <p><button class=Показать ответ

ОДЗ: x – произвольный.

 

Так как левая и правая части исходного неравенства положительны, то от них можно взять log 2 , в результате чего получим равносильное неравенство

x x x+1 32x + 2x ⋅ 3x + 1 > log23(4 −2 ⋅3 +log32) ⇔ ⇔ 32x + 2x ⋅ 3x + 1 > (4x − 2x ⋅ 3x+1 + log 2) ⋅ log 3 ⇔ 2x x x x x x+1 3 2 ⇔ 3 + 2 ⋅ 3 + 1 > (4 − 2 ⋅ 3 ) ⋅ log2 3 + 1 ⇔ ⇔ 32x + 2x ⋅ 3x > (4x − 2x ⋅ 3x+1) ⋅ log 3 2 » class=»math-display» width=»auto»></center> </p> <p class= Поделим последнее неравенство на x x 2 ⋅ 3 :

( )x ( ( )x ) 3- + 1 > 2- − 3 ⋅ log 3 2 3 2 » class=»math-display» width=»auto»></center> </p> <p class= Сделаем замену ( )x 3- 2 = t > 0 » class=»math» width=»auto»>: </p> <p class=

( ) t + 1 > 1− 3 ⋅ log 3, t 2 » class=»math-display» width=»auto»></center> </p> <p class= что при t > 0 » class=»math» width=»auto»> равносильно </p> <p class=

t2 + t > (1 − 3t) ⋅ log23 ⇔ t2 + (3 log2 3 + 1)t − log23 > 0 » class=»math-display» width=»auto»></center> </p> <p class= Решим уравнение

2 t + (3 log23 + 1)t − log2 3 = 0

его дискриминант 2 2 D = (3log23 + 1) + 4log2 3 = 9(log2 3) + 10log23 + 1,> 0, » class=»math» width=»auto»> следовательно, </p> <p> <center class= ∘ ------------------------ −-(3log23-+-1)-±---9-(log2-3)2 +-10-log2-3-+-1 t = 2 ,

так как log2 3 > 0 » class=»math» width=»auto»>, то <img decoding= ∘ --------2--------------- t = −-(3-log2-3 +-1) +---9(log2-3)-+--10log23-+-1 2

По методу интервалов при t > 0 » class=»math» width=»auto»><br class= 
PIC
 
откуда ( ∘ --------2--------------- ) t ∈ − (3-log2-3-+-1) +--9(log23)-+--10log2-3 +-1-;+∞ 2 , следовательно,

( ∘ --------2--------------- ) x ∈ log3 −-(3log23-+-1)-+---9(log23)--+-10-log2-3 +-1;+ ∞ . 2 2

Показательные неравенства
admin
Оцените автора
Я решу все!
Добавить комментарий

© 2025 Я решу все!