Задача к ЕГЭ на тему «Правильная и прямая призмы» №5

Автор admin На чтение 1 мин Просмотров 31

Дана прямая призма $ABCDA1B1C1D1$ , в основании которой лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ , у которой $AB = BC = CD$ , а острый угол при основании $AD$ равен $60∘$ . Пусть $O$ – точка пересечения продолжений боковых сторон основания призмы. Найдите, отношение объема призмы $ABCDA1B1C1D1$ к объему прямой призмы, основанием которой является треугольник $AOD$ , если эти призмы имеют равные высоты.

$PIC$

Из условия следует, что нужно найти

VABCDA1B1C1D1 --------------- VAODA1O1D1

Так как $AD ∥ BC$ и трапеция равнобедренная, то $∠OBC = ∠OCB = ∠OAD = 60∘$ . Следовательно, $△OBC$ равнобедренный с углом при основании $60∘$ , значит, равносторонний. Значит, $OB = OC = BC = AB = CD$ . Также $△OBC ∼ △OAD$ , причем коэффициент подобия равен $1 2$ . Следовательно, $1 SOBC = 4SOAD$ . Тогда $3 SABCD = 4SOAD$ . Значит

V AA ⋅ S 3 --ABCDA1B1C1D1- = ---1---ABCD--= --= 0,75. VAODA1O1D1 AA1 ⋅ SOAD 4