Задача к ЕГЭ на тему «Расстояние от точки до плоскости» №3

Автор admin На чтение 1 мин Просмотров 35

Дана треугольная пирамида $SABC,$ причем грани $SAB$ и $SAC$ представляют собой равные равнобедренные треугольники с прямыми углами при вершине $A.$ Найдите расстояние от точки $A$ до грани $SBC,$ если высота пирамиды равна $h$ и равна $BC.$

Из условия задачи следует, что:

SA ⊥AB, SA⊥ AC ⇒ SA ⊥ (ABC )

SA = AB =AC = h= BC

SB =SC = h√2

$PIC$

Так как $△BAC$ — равнобедренный, то $AK ⊥ BC,K$ — середина $BC$ . Аналогично, $SK ⊥BC$ .

Таким образом, перпендикуляр $AH$ на плоскость $SBC$ упадет на прямую $SK$ , поскольку в таком случае выполнена теорема о трех перпендикулярах: $HK$ — проекция, $AK$ — наклонная, обе перпендикулярны $BC$ . Тогда $AH$ — искомое расстояние.

По теореме Пифагора в $△ABC$ :

2 √ - h2 = h-+ AK2 ⇒ AK = h--3 4 2

Тогда

√- -AH = tg∠SKA = SA-= 2-3 ⇒ AH = 2√3x, HK = 3x HK AK 3

По теореме Пифагора в $△AHK$ :

2 ∘ -- 3h-= 12x2+ 9x2 ⇒ x = √1-h ⇒ AH = 3h 4 2 7 7

Расстояние от точки до плоскости

admin

Оцените автора

Добавить комментарий