Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: на формулы сокращенного умножения» №12

Автор admin На чтение 1 мин Просмотров 28

а) Решите уравнение

sin4 x + cos4x = 3- 4

б) Найдите все его корни, принадлежащие интервалу $(0;π)$ .

а) ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ.

Добавим и вычтем в левой части уравнения $2sin2x cos2x$ :

4 2 2 4 2 2 3 2 2 2 2 2 3 sin x + 2 sin xcos x + cos x − 2sin x cos x = 4-⇒ (sin x + cos x) − 2sin x cos x = 4-⇒ 3 1 1 − 2sin2x cos2x = --⇒ 4sin2x cos2x = -- 4 2

По формуле двойного угла для синуса $2sinx cosx = sin 2x ⇒ (2sinx cosx)2 = sin22x ⇒ 4 sin2 xcos2 x = sin2 2x$ . Следовательно:

√ -- sin2 2x = 1-⇒ sin 2x = ± --2- 2 2

Отметим точки $√ -- ± --2- 2$ на оси синусов. Получим четыре точки на окружности, в которых находятся все углы, синус которых равен $√ -- --2- − 2$ или $√ -- --2- 2$ .

$PIC$

Заметим, что эти четыре точки разбили окружность на четыре равных дуги (длина дуги между любыми двумя соседними точками равна $2π π 4-= 2$ ). Это значит, что все эти точки можно записать в виде одной формулы: $2x = π-+ π-n,∈ ℤ 4 2$ , следовательно:

x = π-+ πn, ∈ ℤ 8 4

б) Отбор корней.

0 < π-+ π-n < π ⇔ − 1-< n < 31- ⇒ n = 0;1;2; 3 ⇒ x = π-; 3π; 5-π; 7π- 8 4 2 2 8 8 8 8