Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: разложение на множители» №5

Автор admin На чтение 1 мин Просмотров 33

а) Решите уравнение

cos 2x + sinx = 1

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[− π;π].$

а) По формуле косинуса двойного угла $cos2x = 1 − 2sin2x$ уравнение перепишется в виде

⌊ x = πn, n ∈ ℤ ⌊ sinx = 0 | | || π- 1 − 2 sin2 x + sin x = 1 ⇔ sinx (1 − 2 sin x) = 0 ⇔ ⌈ ⇔ ||x = 6 + 2πm, m ∈ ℤ sinx = 1- | 2 ⌈ 5π- x = 6 + 2πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни.

$− π ≤ πn ≤ π ⇔ − 1 ≤ n ≤ 1 ⇒ n = − 1; 0; 1.$ Следовательно, $x = − π; 0; π.$

$π 7 5 − π ≤ 6-+ 2πm ≤ π ⇔ − 12-≤ m ≤ 12- ⇒ m = 0.$ Следовательно, $π x = 6.$

$− π ≤ 5π-+ 2 πk ≤ π ⇔ − 11-≤ k ≤ 1-- ⇒ k = 0. 6 12 12$ Следовательно, $x = 5π. 6$