Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к неоднородному линейному уравнению (на формулу вспомогательного угла)» №8

Автор admin На чтение 1 мин Просмотров 27

Решите уравнение

sinx + cos x = 1

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ.

Разделим правую и левую части уравнения на $√ ------- √ -- 12 + 12 = 2$ :

√ -- √ -- √-- 1 1 1 2 2 2 √---sinx + √---cosx = √---⇔ ----sin x + ----cosx = ---- 2 2 2 2 2 2

Заметим, что можно принять $√2-- π π ----= sin --= cos -- 2 4 4$ :

√ -- π π 2 sin xcos 4-+ sin-4 cos x =-2--

Тогда по формуле $sin α cosβ + sinβ cosα = sin (α + β)$ имеем:

( ) √ -- sin x + π- = --2-⇒ x1 = 2πk, x2 = π-+ 2πn, k,n ∈ ℤ 4 2 2