Задача к ЕГЭ на тему «Тригонометрические: сведение к однородному уравнению» №2

Автор admin На чтение 1 мин Просмотров 28

а) Решите уравнение $(sinx+ 2cosx)(3sinx+ cosx)= sin2x.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие $[ π-π] − 2;2 .$

а) ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ.

Применим формулу синуса двойного угла $sin2x = 2sinx cosx$ , раскроем скобки и перенесем все слагаемые в левую часть:

2 2 3sin x+ 5sin xcosx + 2cos x = 0

Разделим правую и левую части равенства на $cos2x$ , сделаем замену $tgx= t,t∈ ℝ$ и получим:

2 2 3t+ 5t+ 2= 0⇒ t1 =− 1;t2 = − 3

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ tgx = −1 x1 = − π4-+ πn,n∈ ℤ ⌈ 2 ⇒ |⌈ 2 tgx = −3 x2 = −arctg 3 + πm,m ∈ ℤ

б) Отберем корни:

− π-≤x1 ≤ π-⇒ − 1 ≤ n≤ 3 ⇒ n = 0⇒ x = − π 2 2 4 4 4

Обозначим $tg 2= α 3$ , тогда:

π- π- α- 1 α- 1 − 2 ≤ x2 ≤ 2 ⇒ π − 2 ≤ m ≤ π + 2

Т.к. в первой четверти тангенс возрастает и $2 π α 1 3 < 1⇒ 0 < α< 4-⇒ 0 < π-< 4 ⇒$ целое $m$ , удовлетворяющее неравенству, это $m = 0$ . Ему соответствует угол $x =− arctg 2 3$ .