Задача к ЕГЭ на тему «Угол между плоскостями и двугранный угол» №6

Автор admin На чтение 1 мин Просмотров 33

Дана четырехугольная пирамида, все ребра которой равны, причем основание является квадратом. Найдите $6cos α$ , где $α$ – угол между ее смежными боковыми гранями.

Пусть $SABCD$ – данная пирамида ( $S$ – вершина), ребра которой равны $a$ . Следовательно, все боковые грани представляют собой равные равносторонние треугольники. Найдем угол между гранями $SAD$ и $SCD$ .

$PIC$

Проведем $CH ⊥ SD$ . Так как $△SAD = △SCD$ , то $AH$ также будет высотой в $△SAD$ . Следовательно, по определению $∠AHC = α$ – линейный угол двугранного угла между гранями $SAD$ и $SCD$ .
Так как в основании лежит квадрат, то $√ -- AC = a 2$ . Заметим также, что $CH = AH$ – высота равностороннего треугольника со стороной $a$ , следовательно, $√ - CH = AH = -23a$ .
Тогда по теореме косинусов из $△AHC$ :

CH2 + AH2 − AC2 1 cosα = ----2CH---⋅ AH------= − 3- ⇒ 6cosα = − 2.