Задача к ЕГЭ на тему «Задачи формата ЕГЭ» №50

Автор admin На чтение 1 мин Просмотров 42

Прямая, проходящая через вершину $B$ прямоугольника $ABCD$ перпендикулярно диагонали $AC,$ пересекает сторону $AD$ в точке $M,$ равноудалённой от вершин $B$ и $D$ .

a) Докажите, что $∠ABM = ∠DBC = 30∘.$

б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой $CM,$ если $BC = 9.$

(МИОО 2017)

а) Обозначим $∠MBD = α.$ По условию $MB =MD,$ следовательно, $△ MBD$ — равнобедренный и $∠BDM = ∠MBD = α.$ Угол $∠BMA = 2α$ как внешний в треугольнике $△ MBD.$ Отрезок $MB$ перпендикулярен $AC$ по условию, а $∠CDA$ — угол прямоугольника. Следовательно,

∠MEC + ∠CDM = 90∘+ 90∘ = 180∘

Тогда четырехугольник $MECD$ вписанный по сумме противоположных углов $180∘.$ Отсюда получаем

∠DME + ∠ECD =180∘ = ∠DME +∠EMA ⇒ ∠ECD =∠EMA = 2α

$PIC$

В прямоугольнике диагонали равны, значит

OC = OD ⇒ ∠OCD = ∠ODC = 2α

Найдем угол $α:$

∠CDA = 90∘ = ∠CDO + ∠ODA =3α ⇒ α= 30∘

Тогда

∠BMA = ∠CDB = 60∘ ⇒ ∠ABM = ∠DBC = 30∘

б) Пусть точка $H$ — основание перпендикуляра из $O$ на $MC,$ $H1$ — основание высоты из вершины $A$ в треугольнике $ACM.$ Заметим, что треугольники $ACH1$ и $OCH$ подобны, так как $OH ∥AH1$ с коэффициентом 2, поскольку $AO = OC.$